У задачах на зважування використовуються шалькові терези. Вони не показують точну вагу предметів. На шалькових терезах можна визначити: 1) чи однакова вага предметів (терези в рівновазі); або 2) на якій шальці лежить важчий предмет (шалька знаходиться нижче). Для визначеності будемо зважувати монети (хоча це можуть бути будь-які предмети). У задачі слід визначити, яка з монет фальшива. Часто маємо обмежену кількість зважувань. Якщо в задачі слід визначити кількість зважувань, за які треба визначити фальшиву монету, то мається на увазі, за яку найменшу кількість зважувань це можна зробити. Задачі бувають двох основних типів:
1) Коли відомо, що фальшива монета легша чи важча за справжні.
Приклад 1. Маємо шалькові терези без гир і 3 однакові на вигляд монети, серед яких одна фальшива: вона легша за справжні (всі справжні монети однакової маси). Скільки потрібно зважувань, щоб визначити фальшиву монету?
Розв’язання. Нам буде достатньо одного зважування. Кладемо на кожну шальку терезів по монеті. Якщо одна з шальок легша, то фальшива монета на ній. Якщо терези в рівновазі, то на терезах справжні монети, а фальшива та, яку не поклали на терези.
2) Коли не відомо, чи фальшива монета легша чи важча за справжні.
Зверніть увагу, не потрібно визначати легша фальшива монета за справжню чи важча, якщо цього не вимагає умова задачі.
Приклад 2. Маємо шалькові терези без гир і 3 однакові на вигляд монети, серед яких одна фальшива, причому не відомо легша чи важча вона за справжні (всі справжні монети однакової маси). Скільки потрібно зважувань, щоб визначити фальшиву монету?
Розв’язання. Нам буде достатньо 2 зважувань. Кладемо на кожну шальку терезів по монеті.
- Якщо терези не в рівновазі, то фальшива монета на терезах, а та, що залишилась, – справжня. Кладемо її на терези з однією із уже зважених. Якщо терези в рівновазі – фальшива не на терезах; якщо ні – то фальшива та, яку важили двічі.
- Якщо терези в рівновазі, то на терезах справжні монети, а фальшива та, яку не поклали на терези.
Задачі для самостійного розв’язування
Маємо шалькові терези без гир і 4 однакові на вигляд монети, серед яких одна фальшива: вона легша за справжні. Скільки потрібно зважувань, щоб визначити фальшиву монету?
Маємо шалькові терези без гир і 9 однакових на вигляд монет, серед яких одна фальшива: вона легша за справжні. Як за 2 зважування визначити фальшиву монету?
Маємо шалькові терези без гир і 4 однакові на вигляд монети, серед яких одна фальшива, причому не відомо легша чи важча вона за справжні (всі справжні монети однакової маси). Скільки потрібно зважувань, щоб визначити фальшиву монету?
Маємо шалькові терези без гир і 9 однакових на вигляд монет, серед яких одна фальшива, причому не відомо легша чи важча вона за справжні (всі справжні монети однакової маси). Як за 3 зважування визначити фальшиву монету?
Лисиця Аліса та Кіт Базиліо – фальшивомонетники. Базиліо робить монети важчі за справжні, а Аліса – легші. Буратіно має 15 однакових на вигляд монет, але якась одна з них фальшива. Як за допомогою двох зважувань на шалькових терезах без гир Буратіно може визначити, хто зробив фальшиву монету – Кіт Базиліо чи Лисиця Аліса.
Дано 27 монет, із яких одна фальшива, причому відомо, що фальшива монета легша за справжню. Як за 3 зважування на шалькових терезах без гир визначити фальшиву монету?
Працівник монетного двору Карлсон виготовив 100 монет, серед яких одна виявилась бракованою (відрізняється масою від справжніх). За допомогою шалькових терезів без гир допоможіть контролеру Фрекен Бок за 2 зважування визначити, легша чи важча бракована монета (знаходити її не потрібно).
Зважування
У задачах на зважування використовуються шалькові терези. Вони не показують точну вагу предметів. На шалькових терезах можна визначити: 1) чи однакова вага предметів (терези в рівновазі); або 2) на якій шальці лежить важчий предмет (шалька знаходиться нижче). Для визначеності будемо зважувати монети (хоча це можуть бути будь-які предмети). У задачі слід визначити, яка з монет фальшива. Часто маємо обмежену кількість зважувань. Якщо в задачі слід визначити кількість зважувань, за які треба визначити фальшиву монету, то мається на увазі, за яку найменшу кількість зважувань це можна зробити. Задачі бувають двох основних типів:
1) Коли відомо, що фальшива монета легша чи важча за справжні.
Приклад 1. Маємо шалькові терези без гир і 3 однакові на вигляд монети, серед яких одна фальшива: вона легша за справжні (всі справжні монети однакової маси). Скільки потрібно зважувань, щоб визначити фальшиву монету?
Розв’язання. Нам буде достатньо одного зважування. Кладемо на кожну шальку терезів по монеті. Якщо одна з шальок легша, то фальшива монета на ній. Якщо терези в рівновазі, то на терезах справжні монети, а фальшива та, яку не поклали на терези.
2) Коли не відомо, чи фальшива монета легша чи важча за справжні.
Зверніть увагу, не потрібно визначати легша фальшива монета за справжню чи важча, якщо цього не вимагає умова задачі.
Приклад 2. Маємо шалькові терези без гир і 3 однакові на вигляд монети, серед яких одна фальшива, причому не відомо легша чи важча вона за справжні (всі справжні монети однакової маси). Скільки потрібно зважувань, щоб визначити фальшиву монету?
Розв’язання. Нам буде достатньо 2 зважувань. Кладемо на кожну шальку терезів по монеті.
- Якщо терези не в рівновазі, то фальшива монета на терезах, а та, що залишилась, – справжня. Кладемо її на терези з однією із уже зважених. Якщо терези в рівновазі – фальшива не на терезах; якщо ні – то фальшива та, яку важили двічі.
- Якщо терези в рівновазі, то на терезах справжні монети, а фальшива та, яку не поклали на терези.
Задачі для самостійного розв’язування
Маємо шалькові терези без гир і 4 однакові на вигляд монети, серед яких одна фальшива: вона легша за справжні. Скільки потрібно зважувань, щоб визначити фальшиву монету?
Маємо шалькові терези без гир і 9 однакових на вигляд монет, серед яких одна фальшива: вона легша за справжні. Як за 2 зважування визначити фальшиву монету?
Маємо шалькові терези без гир і 4 однакові на вигляд монети, серед яких одна фальшива, причому не відомо легша чи важча вона за справжні (всі справжні монети однакової маси). Скільки потрібно зважувань, щоб визначити фальшиву монету?
Маємо шалькові терези без гир і 9 однакових на вигляд монет, серед яких одна фальшива, причому не відомо легша чи важча вона за справжні (всі справжні монети однакової маси). Як за 3 зважування визначити фальшиву монету?
Лисиця Аліса та Кіт Базиліо – фальшивомонетники. Базиліо робить монети важчі за справжні, а Аліса – легші. Буратіно має 15 однакових на вигляд монет, але якась одна з них фальшива. Як за допомогою двох зважувань на шалькових терезах без гир Буратіно може визначити, хто зробив фальшиву монету – Кіт Базиліо чи Лисиця Аліса.
Дано 27 монет, із яких одна фальшива, причому відомо, що фальшива монета легша за справжню. Як за 3 зважування на шалькових терезах без гир визначити фальшиву монету?
Працівник монетного двору Карлсон виготовив 100 монет, серед яких одна виявилась бракованою (відрізняється масою від справжніх). За допомогою шалькових терезів без гир допоможіть контролеру Фрекен Бок за 2 зважування визначити, легша чи важча бракована монета (знаходити її не потрібно).