У спрощеній формі принцип Діріхле формулюється так: якщо m кроликів розсадити у n кліток, то знайдеться хоча б одна клітка, у якій буде не менше ніж m:n кроликів.
Приклад 1. 15 кроликів розсадили у 12 кліток. Доведіть, що знайдеться клітка, у якій буде принаймні два кролики.
Розв’язання. Якби не було жодної клітки мінімум з двома кроликами, то усього кроликів було б не більше ніж кліток, тобто не більше 12. Але кроликів 15. Протиріччя. Тому клітка, у якій буде принаймні два кролики, знайдеться.
Приклад 2. У школі 128 учнів навчається в 11 класах. Доведіть, що знайдеться клас, у якому не менше 12 учнів.
Розв’язання. Якщо такого класу немає, то учнів у школі не може бути більше 11·11=121. Але це менше 128. Протиріччя.
Приклад 3. У 10 шкіл району завезли 44 ноутбуки. Доведіть, що знайдуться дві школи, які отримали однакову кількість ноутбуків.
Розв’язання. Припустимо, таких шкіл не знайдеться. Тоді усі школи отримали різну кількість ноутбуків (можливо жодного). Нехай у першу школу не завезли жодного ноутбука, у другу завезли 1 ноутбук, у третю – 2 і т.д. У десяту – 9 ноутбуків. Тоді усього ноутбуків 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 ноутбуків. (Якщо у якусь школу завезли більше ноутбуків, то загальна кількість ноутбуків буде тільки більшою). Але усього ноутбуків завезли 44. Протиріччя. Наше припущення неправильне, тому дві школи, які отримали однакову кількість ноутбуків, знайдуться.
Задачі для самостійного розв’язання.
1. Вісім кроликів посадили у сім кліток. Доведіть, що знайдеться клітка, у якій сидітиме принаймні два кролики.
2. У темній кімнаті стоїть комод, де лежать 37 червоних і 37 білих шкарпеток. Яку мінімальну кількість шкарпеток слід узяти із шафи, щоб із них гарантовано можна було скласти пару шкарпеток одного кольору?
3. У темній кімнаті стоїть комод, де лежать 37 червоних і 37 білих шкарпеток. Яку мінімальну кількість шкарпеток слід узяти із шафи, щоб із них гарантовано можна було скласти пару шкарпеток червоного кольору?
4. Доведіть, що у будь-якій футбольній команді є два гравці, які народились в один і той самий день тижня.
5. У чемпіонаті школи з міні-футболу команда 5 класу забила 9 голів. Доведіть, що знайдуться два гравці, які забили порівну голів. (У команді 5 гравців)
6. У килимі 4×4 мерти моль проїла 15 дірок (дірки вважаються точковими). Чи можна із цього килима вирізати килимок розміром 1×1 метр?