Парним називається число, яке ділиться на 2 без остачі. Решта чисел називаються непарними. Число 0 – парне число (0:2=0 (ділиться без остачі)).
У багатьох задачах потрібно буде визначити, парне чи непарне число отримаємо в результаті виконання певних дій.
Приклад 1. Чи можна розміняти 25 лір десятьма монетами номіналом 1, 3 та 5 лір?
Розв’язання. 1+3=4; 1+5=6; 3+5=8. Отже, сума двох непарних чисел буде парною. У нас є 10 монет, то сума їх номіналів буде парною (5 пар по 2 непарні монети). Тому 25 лір (непарне число) неможна розміняти даними 10 монетами.
Приклад 2. У ряд виписані всі числа від 1 до 9. Чи можна між ними поставити знаки «+» або «–» так, щоб після виконання усіх дій отримати 0?
Розв’язання. Спосіб 1. Щоб отримати в результаті 0 потрібно, щоб сума чисел, які ми віднімаємо, дорівнювала сумі чисел, від яких ми віднімаємо. Отже сума усіх виписаних чисел має бути парною (щоб поділитись на дві рівні суми). Але 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 – непарне число. Протиріччя. Тому знаки розставити неможна.
Спосіб 2. Серед записаних чисел 5 непарних. Як не додаватимемо чи відніматимемо ці числа, у результаті отримаємо непарне число. Коли до нього додаватимемо чи від нього відніматимемо решту записаних парних чисел, все одно в результаті отримаємо непарне число, а маємо отримати число 0 – парне число. Отже, знаки розставити неможна.
Задачі для самостійного розв’язання.
1. Позначимо літерою П парні числа, а літерою Н – непарні числа. Заповніть пропуски так, що утворились правильні співвідношення.
П+П=[ ] П–П=[ ] П·П=[ ]
П+Н=[ ] П–Н=[ ] П·Н=[ ]
Н+П=[ ] Н–П=[ ] Н·П=[ ]
Н+Н=[ ] Н–Н=[ ] Н·Н=[ ]
2. Чи можна дошку розміром 5×5 замостити доміношками 1×2?
3. Парним чи непарним буде число 1+2+3+…+99?
4. Хуліган Вася Пупкін розірвав шкільну газету на 3 шматки. Після цього він узяв один шматок і також порвав на 3 частини. Потім знову один із шматків порвав на 3 частини і т. д. Чи могло в результаті у нього вийти 100 шматків? А 2020 шматків?
5. На шахівниці стояв на одному із полів стояв кінь. Він зробив кілька ходів і повернувся на те ж саме поле. Парну чи непарну кількість ходів він зробив?
6. У кожного марсіанина три руки. Чи можуть семеро марсіан взятися за руки так, щоб не було жодної вільної руки?
7. Парламент складається із двох палат з однаковою кількістю членів. На спільному засіданні для прийняття важливого рішення були присутні усі представники обох палат. Через важливість питання при голосуванні ніхто не утримався. Після підрахунку голосів було оголошено, що рішення було прийнято більшістю у 25 голосів. Опозиція відразу закричала: «Це обман!». Як це вдалося визначити?
8. Різницю двох цілих чисел помножили на їх добуток. Чи моголи в результаті отримати число 2019?