Принцип крайнього полягає в тому, що при доведенні деякого твердження варто розглянути найбільший чи найменший (крайній) об’єкт. Дуже часто такими об’єктами можуть бути числа (приклад 1) або відстані (приклад 2).
Приклад 1. У вершинах 100-кутника розставлені числа так, що кожне дорівнює середньому арифметичному сусідніх з ним чисел. Доведіть, що усі числа між собою рівні.
Розв’язання. Розглянемо найбільше із чисел (якщо таких кілька, то обираємо будь-яке із них). Сусідні числа не можуть бути меншими за це число тому, що якщо одне із них менше – то друге має бути більшим за розглядуване число (але ж ми обрали найбільше). Отже усі три числа рівні між собою. Розглянемо наступне за ними число. Воно дорівнює двом числам, що стоять перед ним (тому що ті рівні між собою). Далі розглядаємо наступне за цими числами число і т.д. Таким чином доводимо, що усі числа рівні між собою.
Приклад 2. У космічному просторі літає 1001 астероїд, на кожному із яких сидить астроном. Усі відстані між астероїдами різні. Кожен астроном спостерігає за найближчим астероїдом. Доведіть, що за одним із астероїдів ніхто не спостерігає.
Розв’язання. Розглянемо два астероїди А та В, відстань між якими найменша. Астроном на астероїді А дивиться на астероїд В, а астроном на астероїді В дивиться на астероїд А. Якщо знайдеться астроном, який спостерігає за астероїдом А чи В,то знайдеться і астероїд за яким ніхто не спостерігає (оскільки скільки астероїдів – стільки і спостерігачів). Інакше виключимо із розгляду астероїди А та В. Отримаємо систему із 1001-1=999 астероїдів, для яких виконується умова задачі. Продовжуючи так і далі прийдемо до розгляду системи із трьох астероїдів. Астрономи на найближчих із них спостерігають за астероїдами один одного, тому за астероїдом, що залишився, ніхто не спостерігає.
Задачі для самостійного розв’язування.
1. По колу записано кілька натуральних чисел, кожне із яких не більше за одне із сусідніх чисел. Доведіть, що серед цих чисел є хоча б два рівних числа.
2. По колу записано кілька чисел, кожне з яких дорівнює середньому арифметичному сусідніх з ним чисел. Доведіть, що усі ці числа рівні.
3. На шаховій дошці стоять кілька тур. Чи обов’язково знайдеться тура, яка б’є не більше двох інших тур? (Перестрибувати через фігури тура не може.)
4. У 2019 замках живуть по принцу та принцесі. Усі відстані між замками різні. 14 лютого кожен принц іде до найближчого замку залицятися до тамтешньої принцеси. Доведіть, що знайдеться принцеса, яка залишилась без залицяльника.
5. У країні є кілька міст, усі відстані між якими різні. Божевільний мандрівник їде із міста А до найвіддаленішого від нього міста В. Потім іде до найвіддаленішого від В міста С і т.д. Доведіть, що якщо місто С не співпадає з містом А, то мандрівник ніколи не повернеться до міста А.