Ознаки подільності
Число ділиться на 2, якщо його остання цифра ділиться на 2.
Число ділиться на 3, якщо сума його цифр ділиться на 3.
Число ділиться на 4, якщо число, утворене двома його останніми цифрами ділиться на 4.
Число ділиться на 5, якщо його остання цифра 0 або 5.
Число ділиться на 7, якщо різниця між цим числом без останньої цифри та подвоєною останньою цифрою ділиться на 7.
Число ділиться на 9, якщо сума його цифр ділиться на 9.
Число ділиться на 11, якщо сума цифр, які стоять на парних місцях дорівнює сумі цифр, які стоять на непарних місцях, або відрізняється від неї на 11.
Приклад 1. Чи ділиться число 457947 на 7?
Розв’язання.
457947: 45794-2∙7=45794-14=45780,
4578-2∙0=4578,
457-2∙8=457-16=441,
44-2∙1=42.
42 ділиться на 7, отже, 457947 кратне 7.
Приклад 2. Доведіть, що 2019-цифрове число 11…1411…1 не є простим числом.
Розв’язання. У числі 2018 одиниць. Тому сума цифр числа 2018+4=2022. Сума цифр числа 2022 – 6. Тому це число, а, отже і задане число ділиться на 3. Тому число 11…1411…1 – складене.
Задачі для самостійного розв’язання.
1.Запишіть кілька разів число 2019 так, щоб отримане число ділилося б на 9.
2. Нехай М – довільне 2019-цифрове число, кратне 9. Суму цифр цього числа позначимо А. Суму цифр числа А позначимо В. Суму цифр числа В позначимо С і так доки не залишиться одноцифрове число. Яке це буде число?
3. Чи ділиться число 10^2019+8 на 9?
4. Чи ділиться число 11·21·31·41·51–1 на 10?
5. Вдома у Івасика є сейф, але він не знає коду. Бабуся розказала Івасику, що код складається із 7 цифр – двійок і трійок. А дідусь – що код ділиться і на 3, і на 4. Чи зможе Івасик з першої спроби відкрити сейф?
6. Знайдіть усі натуральні числа, які більші за свою останню цифру у 5 разів.
7. Відомо, що 35! = 10333147966386144929*66651337523200000000. Знайдіть цифру, яку замінили зірочкою.
8. У книзі рекордів Гіннеса написано, що найбільше відоме просте число дорівнює 23021^377–-1. Чи не помилка це?
9. Вася записав на дошці приклад на множення двозначних чисел, а потім замінив усі цифри літерами, причому однакові цифри – однаковими літерами, а різні літери – різними. У нього вийшло АБ×ВГ=ДДЕЕ. Доведіть, що він помилився.