У грі двоє чи більше гравців по черзі роблять свій хід. Мета гри – перемогти. Для цього необхідно вказати виграшну стратегію – найкращий спосіб гри, який приведе гравця до перемоги. Часто виграти допомагають міркування симетрії.
Приклад 1. Двоє гравців по черзі кладуть монетки на круглий стіл, причому так, щоб вони не накладались одна на одну. Програє той, хто не може зробити хід. Хто виграє у цій грі і як йому потрібно для цього грати?
Розв’язання.
Виграє перший гравець. Для цього він кладе монетку у центр столу (створює симетричне поле для гри). Тепер після ходу другого гравця перший завжди матиме свій хід (кластиме монетку симетрично до ходу другого, утворюючи симетричну позицію). Тому не зможе зробити хід саме другий гравець.
Приклад 2. На столі лежать дві стопки монет: в одній з них 30 монет, а у іншій – 20. Грають двоє гравців. За один хід дозволяється взяти будь-яку кількість монет із однієї стопки. Програє той, хто не може зробити хід. Хто із гравців виграє при правильній грі?
Розв’язання. Виграє перший гравець. Першим ходом він бере 10 монет із першої стопки – робить їх рівними. Після цього після будь-якого ходу другого гравця перший може взяти стільки ж монет із іншої стопки (зробити симетричний хід).
Приклад 3. У ромашки 11 пелюсток. За один хід дозволяється зірвати або одну пелюстку, або дві пелюстки, які ростуть поруч. Виграє той, хто зриває останню пелюстку. Хто виграє при правильній грі?
Розв’язання. Виграє другий гравець. Якщо перший гравець зриває одну пелюстку, то другий зриває 2 пелюстки так, щоб пелюстки, що залишились, були розбиті на дві групи по 4 пелюстки підряд. Якщо ж перший зриває 2 пелюстки, другий зриває одну, досягаючи аналогічної симетричної ситуації (на рисунку темним виділені зірвані пелюстки). Тепер другий гравець має можливість робити симетричні ходи, відриваючи стільки ж пелюсток, скільки і перший тільки із іншої частини.
Задачі для самостійного розв’язання.
1. У першій купці лежить 100 цукерок, а у другій – 200. За один хід можна взяти будь-яку кількість цукерок із будь-якої купки. Виграє той, хто узяв останню цукерку. Хто виграє при правильній грі?
2. Маємо дві купки камінців – по 7 камінців у кожній купці. За один хід дозволяється узяти будь-яку кількість камінців, але тільки із однієї купки. Програє той кому нічого брати. Хто виграє при правильній грі?
3. У ромашки 12 пелюсток. За один хід дозволяється зірвати або одну пелюстку, або дві пелюстки, які ростуть поруч. Виграє той, хто зриває останню пелюстку. Хто виграє при правильній грі?
4. У кожній клітинці дошки 11х11 стоїть шашка. За хід дозволяється зняти із дошки будь-яку кількість шашок, що ідуть під ряд або у одному горизонтальному ряду, або у одному вертикальному ряду. Виграє той, хто знав останню шашку. Хто виграє при правильній грі?
5. На колі розставлені 20 точок. За хід дозволяється з’єднати будь-які дві з них відрізком, який не перетинає раніше проведені відрізки. Прогає той, хто не може зробити хід. Хто виграє при правильній грі?