Приклад 1. Між 8планетами Сонячної системи та Місяцем уведено космічне сполучення. Ракети літають за наступними маршрутами: Земля – Меркурій, Місяць – Венера, Земля – Місяць, Місяць – Меркурій, Меркурій – Венера, Земля – Венера, Уран – Нептун, Нептун – Сатурн, Сатурн – Юпітер, Юпітер – Марс, Марс – Уран. Чи можна дістатися (можливі пересадки) із Землі до Марса?
Розв’язання. Побудуємо схему: планетам будуть відповідати точки, а сполучаючи їх маршрути – лінії, що не перетинаються між собою.
Тепер ми бачимо, що всі планети розділились на дві не пов’язані між собою групи. Земля належить до однієї групи, а Марс до іншої. Тому долетіти до Марса із Землі неможна.
Подібні схеми , які адекватно описують задачу, називаються графами. При цьому елементи множин показують точками, а зв’язки між ними – лініями (не обов’язково прямими). Бажано, щоб при розв’язання точки не лежали на одній прямій. Точки називаються вершинами графа, а лінії, що ці точки з’єднують, – ребрами.
Один і той же граф можна зображати по різному. Так граф із прикладу 1 може бути побудований інакше.
Важливо лише те, які вершини з’єднані між собою, а які – ні. Такі однакові, але, можливо, інакше намальовані графи, називають ізоморфними.
Кількість ребер, які виходять із даної вершини, – степінь вершини.
Приклад 2. В місті Маленькому 15 телефонів. Чи можна з’єднати їх проводами так, щоб кожен телефон був з’єднаний рівно з п’ятьма іншими?
Розв’язання. Припустимо, що це можливо. Тоді розглянемо граф, вершини якого відповідають телефонам, а ребра – проводам, що їх з’єднують. В цьому графі 15 вершин, степінь кожної з яких дорівнює 5. Підрахуємо кількість ребер у цьому графі. Спочатку просумуємо степені усіх його вершин. Зрозуміло, що при такому підрахунку кожне ребро пораховано 2 рази (воно ж з’єднує дві вершини!). Тому число ребер графа має бути . Але це число неціле! Отже, такого графа не існує, а тому з’єднати телефони необхідним чином не можливо.
При розв’язанні задачі ми з’ясували, як підрахувати кількість ребер графа, знаючи степені усіх його вершин. Для цього слід знайти суму степенів усіх вершин графа і отриманий результат поділити на 2.
Зі сказаного вище можна отримати наслідок: сума степенів усіх вершин графа має бути парною (інакше її не можна було б розділити на 2 націло).
Вершина графа, що має парну степінь називається парною, а вершина, що має непарну степінь – непарною.
Теорема. Кількість непарних вершин будь-якого графа – парна.
Для доведення цієї теореми слід відмітити, що сума кількох цілих чисел парна тоді і тільки тоді, коли кількість непарних доданків парна.
Приклад 3. У класі 30 учнів. Чи може бути таке, що 9 із них мають по 3 товариша (в цьому класі), 11 – по 4 товариша, а 10 – по 5 товаришів?
Розв’язання. Якби це було можливо, то можна було б намалювати граф з 30 вершинами, 9 із яких мали б степінь 3, 11 – степінь 4, 10 – степінь 5. Однак у такого графа 19 непарних вершин, що суперечить теоремі. Тому такого розподілу кількості друзів бути не може.
Задачі для самостійного розв’язання.
У країні Цифра є 9 міст з назвами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Мандрівник виявив, що два місті сполучаються авіалінією тільки в тому випадку, коли двозначне число, складене із цифр-назв цих міст, ділиться на 3. Чи можна із міста 1 дістатися до міста 9 (можливі пересадки)?
У державі 100 міст, і з кожного виходить 4 дороги. Скільки усього доріг у державі?
Футбольний м’яч щільно обтягнутий сіткою. З кожного вузла сітки виходить 3 мотузки. Чи може у цій сітці бути 999 вузлів?
У місті Маленькому 15 телефонів. Чи можна їх з'єднати дротами так, щоб були 4 телефони, кожен з яких сполучений з трьома іншими, 8 телефонів, кожен з яких сполучений з шістьма, і 3 телефони, кожен з яких сполучений з п'ятьма іншими?
У короля 19 баронів-васалів. Чи може виявитися так, що у кожного васального баронства 1, 5 або 9 сусідніх баронств?
Джон, приїхавши із Діснейленду, розповідав, що там на зачарованому озері є 7 островів, з кожного з яких веде 1, 3 або 5 мостів. Чи правильно, що хоч би один з цих мостів обов'язково виходить на берег озера?
Чи можна побудувати на площині 9 відрізків так, щоб кожен перетинався рівно з трьома іншими?