Приклад 1. Шаховий кінь вийшов з поля а1 і через кілька ходів повернувся на нього. Доведіть, що кінь зробив парну кількість ходів.
Розв’язання. Кінь ходить «буквою Г» – на дві клітинки прямо і на одну в бік. Тобто з чорної клітинки він іде на білу, а з білої – на чорну. Клітинка а1 – чорна. Першим ходом кінь стає на біле клітинку, другим – на чорну, третім – на білу, четвертим – на чорну і т.д. Кольори клітинок – чергуються, тобто після парного ходу кінь стає на чорну клітинку, а після непарного – на білу. Кінь повернувся назад (на чорну клітинку), тому він зробив парну кількість ходів.
Приклад 2. На дошці 25×25 розставлено 25 шашок, причому їх розміщення симетричне відносно діагоналі дошки. Доведіть, що хоча б одна шашка розташована на діагоналі.
Розв’язання. Шашки, які не стоять на діагоналі розіб’ємо на пари симетрично розташованих шашок. Таких шашок парна кількість. Оскільки усіх шашок непарна кількість, то на діагоналі стоїть непарна кількість шашок (як мінімум одна).
Приклад 3.У класі 30 учнів і кожного дня троє з них чергують у класі. Чи може через деякий час статись так, що кожен учень чергував з кожним рівно один раз?
Розв’язання. Розглянемо одного з учнів. У кожному його чергуванні брали участь іще 2 школярі. Якщо з кожним він чергував рівно один раз, то усі його однокласники розбились на пари, а це неможливо, тому що учнів 29. Тому так статись не може.
Задачі для самостійного розв’язання.
1. На площині розміщено 11 шестерінок, з’єднаних у замкнений ланцюг. Чи можуть усі шестерінки обертатись одночасно?
2. Барон Мюнхгаузен, повернувшись із навколосвітньої подорожі, розповів, що по дорозі він перетнув кордон Трапезундії рівно 7 разів. Чи варто вірити його словам?
3. В джунглях Трапезундії на барона Мюнхгаузена напали пантери. Коли він проскочив мимо двох з них, вони кинулись на нього, промахнулись і загризли одна одну. Мюнхгаузен повторював цей маневр ще і ще, доки усі пантери не загризли одна одну. За словами барона усього було 97 пантер. Чи правда це?
4. Чи можна розміняти 25 тугриків, рівно 10 купюрами номіналом 1, 3, 5 тугриків?
5. Цвіркун стрибає по прямій – кожного разу на 1 м вліво або вправо. Через деякий час він опинився у вихідній точці. Доведіть, що він зробив парну кількість стрибків.
6. Усі кістки доміно виклали в ряд. На одному кінці виявилось число 5. Скільки очків на іншому кінці?
7. Петрик купив зошит на 96 аркушів і пронумерував усі його сторінки по черзі від 1 до 192. Василько вирвав із зошита 25 аркушів та додав усі 50 чисел, які на них записані. Чи могла сума дорівнювати 2020?