При розв’язанні задачі порахуємо кількість деяких об’єктів двома різними способами. Якщо кількість різна – можемо зробити висновок про неможливість розглядуваної ситуації.
Приклад 1. Числа від 1 до 100 розставили у клітинках таблиці 10 х 10. Чи може сума чисел у кожному стовпчику дорівнювати 500?
Розв’язання. Знайдемо суму усіх чисел таблиці двома способами.
Сума чисел у кожному стовпчику дорівнює 500. Стовпчиків 10. Тому сума усіх чисел дорівнює 500·10=5000.
З іншого боку сума усіх чисел: 1 + 2 + 3 + … 98 + 99 + 100 =
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + … + (50 + 51) = 101 + 101 + … + 101 = 101·50 = 5050.
Суми, отримані різними способами, не рівні. Суперечність. Тому розставити числа указаним способом неможливо.
Приклад 2. Вирізали кілька однакових квадратиків. Вершини кожного з них пронумерували числами 1, 2, 3, 4. Потім усі квадратики склали у стопку. Чи могла сума чисел у кожному кутку бути рівною: а) 2020, б) 2022?
Розв’язання. а) Так. Наприклад, 404 пари квадратиків (1, 2, 3, 4) і (4, 3, 2, 1)
б) Ні. З одного боку сума усіх чисел 2022·4=8088. З іншого боку сума чисел на кожному квадратику 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Тому і загальна сума чисел має бути кратною 10, і тому не може дорівнювати 8088.
Задачі для самостійного розв’язання.
1. Чи можна розставити числа у таблиці 13 х 13 числа так, щоб сума чисел у кожній стрічці була додатною, а сума чисел у кожному стовпці – від’ємною?
2. Чи можна у таблиці 5 х 10 так розставити числа, щоб сума чисел у кожній стрічці дорівнювала 30, а у кожному стовпчику – 10?
3. Вирізали кілька однакових трикутників. Вершини кожного з них пронумерували числами 1, 2, 3. Потім усі трикутники склали у стопку. Чи могла сума чисел у кожному кутку бути рівною 601?
4. На котячій виставці кожен відвідувач погладив рівно 3 котів. При цьому виявилось, що кожного кота погладили рівно 3 відвідувачі. Доведіть, що відвідувачів було стільки ж, скільки і котів.
5. Настя, Катя та Лізи розв’язували математичні задачі. Щоб було цікавіше та швидше, вони купили цукерок та домовились, що за кожну вирішену задачу дівчинка, яка вирішила задачу першою, отримає 4 цукерки, дівчинка, яка вирішила другою, – 2 цукерки, третьою – 1 цукерку. Дівчатка кажуть, що кожна із них вирішила усі задачі і отримала разом 20 цукерок, причому одночасних рішень не було. Вони помиляються. Як ви гадаєте, чому?
6. Ігор зафарбував у квадраті 6х6 кілька клітинок. Чи могло статись так, що в усіх квадратиках 2 х 2 зафарбовано рівно 2 клітинки, а в усіх прямокутниках 3 х 1 – зафарбована рівно 1 клітинка?
7. Коли зустрічаються два жителі Квіткового міста, один віддає іншому монету в 1 грн, а той йому – 2 монети по 50 к. Чи могло статись так, що за день кожен із 2020 жителів міста віддав рівно 10 монет?
Comments