Інваріанти (6 клас)

Інваріантом деякого перетворення (системи дій) називається величина або властивість, що не змінюється при цьому перетворенні (системі дій).

Приклад 1. Двоє по черзі ламають шоколадку 6х8. За один хід дозволяється зробити прямолінійний розлом будь-якого одного шматка уздовж заглиблення. Програє той, хто не зможе зробити хід. Хто виграє у цій грі?

Розв’язання. Після кожного ходу кількість шматків збільшується рівно на 1. Спочатку був один шматок, а в кінці гри – 48. Таким чином у грі буде зроблено 47 ходів. Останній 47 хід (як і усі ходи з непарними номерами зробить перший гравець), тому він у цій грі переможе, причому незалежно від того, як буде грати.

Приклад 2. На дошці записано 11 чисел – 6 нулів та 5 одиниць. Дозволяється закреслити будь-які два числа і замість них записати якщо вони були однакові – нуль, а якщо різні – одиницю. Після кількох таких дій залишиться тільки одне число. Яке?

Розв’язання. Якщо закреслено два нулі – кількість одиниць не змінилася.

Якщо закреслено нуль та одиницю – кількість одиниць не змінилася.

Якщо закреслено дві одиниці – кількість одиниць зменшилася на 2.

Отже, жодне із наведених перетворень не змінює парності кількості одиниць. Оскільки спочатку одиниць було 5 (непарна кількість), то після будь-якої кількості перетворень одиниць залишиться непарна кількість (мінімум 1). Тому останнє число, яке залишиться після описаних перетворень, буде одиницею.

Приклад 3. На дошці записані числа 1, 2, …, 37. Дозволяється стерти будь-які два числа і замість них записати їх різницю. Повторивши цю операцію 36 разів, ми отримаємо одне число. Доведіть, що це число не може бути нулем.

Розв’язання. Розглянемо суму записаних чисел.

(1+37) + (2+36) + (3+ 35) + … + (18 + 20) + 19 – непарне число.

Різниця двох парних або двох непарних чисел – парне число. Різниця парного і непарного числа – непарне число. Отже, при заміні будь-яких двох чисел парність суми усіх чисел не змінюється. Оскільки спочатку сума була непарною, то останнє записане на дошці число не може бути нулем.

Задачі для самостійного розв’язання.

1. На столі лежать дві купки каменів: у першій купці 10 каменів, а у другій – 15 каменів. За один хід дозволяється розділити будь-яку купку на дві менших. Програє той, хто не може зробити хід. Чи може виграти другий гравець?

2. Троє по черзі ламають шоколадку 8х10. За один хід дозволяється зробити прямолінійний розлом будь-якого одного шматка уздовж заглиблення. Програє той, хто не зможе зробити хід. Хто програє у цій грі?

3. Маша написала на дошці в деякому порядку 2020 плюси і 2021 мінус. Час від часу Оля підходить до дошки, стирає будь-які два знаки і пише замість них один, причому якщо стерла однакові знаки, то замість них пише плюс, а якщо різні, то мінус. Після декількох таких дій на дошці залишився тільки один знак. Який?

4. На дошці записано шість чисел: 0, 1, 0, 0. За один хід дозволяється до будь-яких двох чисел одночасно додати по одиниці. Чи можна через декілька ходів зробити їх рівними?

5. На дошці записано шість чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. За один хід дозволяється до будь-яких двох чисел одночасно додати по одиниці. Чи можна через декілька ходів зробити їх рівними?

6. На дошці записані числа 1, 2, 3, …, 2015. Дозволяється стерти будь-які два числа і замість них записати їх різницю. Чи можна зробити так, щоб усі записані на дошці числа були 0?

7. На чарівній яблуні виросли 15 бананів та 20 апельсинів. Одночасно дозволяється зірвати один або два плоди. Якщо зірвати один плід – виростає такий самий; якщо зірвати відразу два однакових плоди – виросте апельсин; якщо зірвати відразу два різних плоди – виросте банан. У якому порядку слід зривати плоди, щоб на яблуні залишився рівно один плід? Чи можна визначити, який плід це буде?

8. Клітинки дошки 7х7 пофарбовані у шаховому порядку у жовтий та блакитний кольори так, що кути пофарбовані у жовтий колір. Дозволяється перефарбовувати у протилежний колір дві сусідні по стороні клітинки. Чи можна за допомогою таких операцій перефарбувати всю дошку у блакитний колір?